پاسخ فعالیت صفحه 10 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۰ ریاضی دهم سلام! این فعالیت مفهوم **مجموعه‌های مجزا (Disjoint Sets)** و رابطه‌ی مهم محاسبه‌ی تعداد اعضای اجتماع (Inclusion-Exclusion Principle) رو به شما آموزش می‌ده. ### الف) محاسبه‌ی اجتماع و تکمیل جدول **۱. محاسبه‌ی $\mathbf{\text{A} \cup \text{B}}$:** * $\text{A} \cup \text{B}$ شامل تمام اعضای $\text{A}$ **یا** $\text{B}$ است. این مجموعه بیانگر کل اعضای تیم کوه‌نوردی است. $$\mathbf{\text{A} \cup \text{B} = \{\text{آتنا}, \text{زهرا}, \text{الناز}, \text{الهام}, \text{فاطمه}, \text{معصومه}, \text{فرزانه}\} }$$ **۲. تکمیل جدول:** * $\mathbf{\text{n}(\text{A})}$: تعداد دانش‌آموزان: $\text{n}(\text{A}) = ۴$. * $\mathbf{\text{n}(\text{B})}$: تعداد دانشجویان: $\text{n}(\text{B}) = ۳$. * $\mathbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B})}$: تعداد کل اعضای تیم: $\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۷$. * $\mathbf{\text{n}(\text{A} \cap \text{B})}$: تعداد اعضای مشترک (چون مجموعه مجزاست): $\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۰$. | $\text{n}(\text{A})$ | $\text{n}(\text{B})$ | $\text{n}(\text{A} \cup \text{B})$ | $\text{n}(\text{A} \cap \text{B})$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | ۴ | **۳** | **۷** | **۰** | --- ### ب) رابطه‌ی بین $\text{n}(\text{A} \cup \text{B})$, $\text{n}(\text{A})$ و $\text{n}(\text{B})$ همان‌طور که در جدول بالا مشاهده کردیم، تعداد کل اعضای تیم (۷ نفر) برابر با مجموع تعداد دانش‌آموزان (۴ نفر) و دانشجویان (۳ نفر) است. $$\mathbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B})}$$ $$\text{۷} = ۴ + ۳$$ --- ### پ) شرایط برقراری این فرمول این رابطه‌ی ساده که تعداد اعضای اجتماع برابر با مجموع تعداد اعضای دو مجموعه است، فقط در حالتی برقرار است که دو مجموعه هیچ عضو مشترکی نداشته باشند؛ در غیر این صورت اعضای مشترک دو بار شمرده می‌شوند. * **شرط برقرار بودن:** این فرمول تنها در صورتی برای دو مجموعه‌ی دلخواه $\text{A}$ و $\text{B}$ برقرار است که آن دو مجموعه **جدا از هم (مجزا)** باشند. * **شرط ریاضی:** دو مجموعه $\text{A}$ و $\text{B}$ مجزا باشند، یعنی **اشتراک** آن‌ها **تهی** باشد: $\mathbf{\text{A} \cap \text{B} = \emptyset}$. * **توضیح:** وقتی مجموعه‌ها مجزا هستند، $\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۰$ است و نیازی به کسر کردن اعضای مشترک نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۱ ریاضی دهم این فعالیت به شما نشان می‌دهد که چرا در حالت کلی، برای محاسبه‌ی تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه، باید **اعضای مشترک** (اشتراک) رو در نظر بگیریم و اون‌ها رو **فقط یک بار** بشمریم. ### الف) محاسبه‌ی اعضای مجموعه‌ها **۱. شمارنده‌های ۲۸ ($\text{A}$):** اعدادی که ۲۸ بر آن‌ها بخش‌پذیر است. $$\mathbf{\text{A} = \{۱, ۲, ۴, ۷, ۱۴, ۲۸\}} \Longrightarrow \text{n}(\text{A}) = ۶$$ **۲. شمارنده‌های ۳۰ ($\text{B}$):** اعدادی که ۳۰ بر آن‌ها بخش‌پذیر است. $$\mathbf{\text{B} = \{۱, ۲, ۳, ۵, ۶, ۱۰, ۱۵, ۳۰\}} \Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{B}) = ۸}$$ **۳. شمارنده‌های مشترک ($\text{A} \cap \text{B}$):** اعدادی که در هر دو لیست بالا وجود دارند. $$\mathbf{\text{A} \cap \text{B} = \{۱, ۲\}} \Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۲}$$ **۴. اجتماع شمارنده‌ها ($\text{A} \cup \text{B}$):** همه‌ی اعضای $\text{A}$ و $\text{B}$، بدون تکرار. $$\mathbf{\text{A} \cup \text{B} = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۱۰, ۱۴, ۱۵, ۲۸, ۳۰\}} \Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۱۲}$$ --- ### ب) تکمیل جدول | $\text{n}(\text{A})$ | $\text{n}(\text{B})$ | $\text{n}(\text{A} \cap \text{B})$ | $\text{n}(\text{A} \cup \text{B})$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | ۶ | **۸** | **۲** | **۱۲** | --- ### پ) دلیل برقرار نبودن رابطه‌ی $\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B})$ * **رابطه‌ی ساده:** $\text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B}) = ۶ + ۸ = ۱۴$. * **مقدار واقعی:** $\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۱۲$. * **تفاوت:** $۱۴ \neq ۱۲$. **دلیل برقرار نبودن:** * در این مثال، مجموعه‌های $\text{A}$ و $\text{B}$ **مجزا نیستند**؛ یعنی $\mathbf{\text{A} \cap \text{B} \neq \emptyset}$. * وقتی اعضای $\text{A}$ را با اعضای $\text{B}$ جمع می‌زنیم ($\text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B})$)، اعضای مشترک ($\{۱, ۲\}$) **دو بار** شمرده می‌شوند (یک بار در $\text{A}$ و یک بار در $\text{B}$). * برای رسیدن به تعداد واقعی ($athbf{۱۲}$)، باید آن **تکرار اضافی** را کم کنیم. $\text{۱۴} - \text{۲} = \text{۱۲}$. --- ### ت) حدس زدن رابطه‌ی درست ($ ext{n}(\text{A} \cup \text{B})$) با توجه به نمودار ون و توضیحات بالا، برای محاسبه‌ی تعداد اعضای اجتماع، باید تعداد اعضای $\text{A}$ و $\text{B}$ را جمع کنیم و سپس تعداد اعضای مشترک را از آن **کم کنیم** تا تکرار از بین برود. **۱. تکمیل نمودار ون:** * **اشتراک (وسط):** اعضای $\{۱, ۲\}$. ($\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۲$) * **فقط $\text{A}$:** اعضای $\{۴, ۷, ۱۴, ۲۸\}$. ($\text{n}(\text{A}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۶ - ۲ = ۴$) * **فقط $\text{B}$:** اعضای $\{۳, ۵, ۶, ۱۰, ۱۵, ۳۰\}$. ($\text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۸ - ۲ = ۶$) **۲. حدس زدن رابطه:** $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ **بررسی:** $$\text{۱۲} = ۶ + ۸ - ۲$$ $$\text{۱۲} = ۱۴ - ۲$$ $$\mathbf{۱۲ = ۱۲}$$ این رابطه که به **اصل شمول و عدم شمول** معروف است، رابطه‌ی درست و کلی برای محاسبه‌ی تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه‌ی دلخواه است.